уволиться может в любой момент, конечно.
Когда у меня были такие ситуации, и надо было уволиться срочно, то в заявлении об увольнении дописывала "уволить завтрашним числом в связи с переездом в другой город". Если на это не опйдут, то пусть увольняется с отработкой.
А вообще это очень странно, что командировочных не дали, это вообще-то нарушение. Работодатель обязан возместить работнику расходы на поездку, проживание и питание.
С такими делами можно пойти в суд и дело 100% будет выйграно. Таких работодетелей в суде очень любят!

че за контора такая?